第3章第4节面屈光力和镜片公式 - 眼镜学

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第3章第4节面屈光力和镜片公式

2009-11-27 15:58:23 来源:网络作者:鸿晨【大中小】浏览:17251次评论:0条

应用于眼镜片的透镜，主要目的是利用其光学原理矫正眼的屈光不正。针对不同性质、不同类型和不同程度的屈光不正以及不同的配戴者，要选择不同的透镜进行矫正。不同的透镜都遵循相同的几何学原理，而具体的光学性质则各不相同。
透镜共同遵循的几何学的基本原理和成像的基础知识是本部分的重点内容，对其掌握和了解亦是以后的学习基础。此外，本部分将对常用的简单透镜形式——球面透镜的分类、光学性质、表示方法和放大率、视场等相关内容进行详细阐述。

（一）球镜的面屈光力和透镜屈光力

１．面屈光力　　当光束从一种介质通过单球面界面进入另一种介质，光束的聚散度将发生改变。球面使聚散度改变的程度称为此球面的面屈光力。

当光束从折射率为n1的介质，通过曲率半径为r的球面，进入折射率为n2的介质，此球面的屈光力（F）与上述三者有关。

F＝(n2 －n1)／r 公式３-１０

曲率半径r需遵循符号规则，如果r 从界面向右衡量（即球面的光心在界面的右侧），r为正值；相反r
从界面向左衡量（即球面的光心在界面的左侧），则r为负值。

由于r与界面的曲率（Ｒ）相关，面屈光力的公式也可写为：

Ｆ＝（n2－n1）Ｒ　　　　　　　公式３-１１

可见，当界面的曲率增加（即界面弯度增加），面屈光力增加；当界面的曲率减小（即界面弯度变平），则面屈光力减小。同时当两种介质的折射率差别较大的时候，面屈光力较大；差别较小，则面屈光力较小。

例３-１５：如图３-３４所示，水和玻璃之间的界面为球面，水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.53，球面的曲率半径为10cm，光线从水进入玻璃，则此界面的屈光力为多少？

解：已知n1=1.33、n2=1.53、r=+0.1m，代入公式3-10:

例3-16：如图3-35所示，光线从空气经过球面进入玻璃，空气折射率为1.00，玻璃为1.50，则界面的屈光力为多少？

解：已知n1=1.00、n2=1.50、r=-0.05cm,代入公式3-10:

２．薄透镜的屈光力　　如果忽略透镜的中心厚度，透镜的屈光力取决于其前后表面。如图３-３６所示。

折射率为n22的新月形凸透镜放在折射率为n1的介质中；透镜的前后表面曲率半径分别为r1、r2；凸透镜的前后表面屈光力分别为F１、F２，则：

光线从左向右通过透镜。假设光线进入透镜前表面时的物聚散度为U１，
像聚散度为V１；通过透镜后表面时物聚散度为U２，像聚散度为V２，则：

Ｖ１＝Ｆ１＋Ｕ１

Ｖ２＝Ｆ２＋Ｕ２

如果忽略透镜的中心厚度，光从前表面到后表面过程中聚散度不变，即：

Ｕ２＝Ｖ１

代入可得出：　　　　Ｖ２＝Ｆ１＋Ｆ２＋Ｕ１

设透镜的屈光力为Ｆ，则：Ｖ２＝Ｆ＋Ｕ１

因此，　Ｆ＝Ｆ１＋Ｆ２　　　公式３-１４

当透镜位于空气中，空气的折射率＝１，设透镜的折射度为n，则公式３-１２、３-１３可简化为：

其中，Ｆ为透镜的屈光力、F１为透镜前表面屈光力、F２为透镜后表面屈光力。

例３-１７：一个双凸型薄透镜折射率为1.6，前、后表面曲率半径分别为12cm和20cm，求透镜的屈光力。

解：已知n＝1.6，由于透镜为双凸型，因此r１＝＋0.12m、r２＝－0.20m

或直接代入公式３-１７计算：

例３-１８：一个凸新月形薄透镜，折射力为1.5，前后表面曲率半径分别为５cm和25cm，求透镜的屈光力。

解：已知n＝1.5，由于透镜为新月形，因此r１＝＋0.05m，r２＝＋0.25m

或直接代入公式３-１７计算：

如果透镜中央厚度较大，光线从透镜前表面到后表面的聚散度变化不能忽略，则需要用精确的公式计算透镜的屈光力。（具体内容见厚透镜部分）

３．透镜形式　　从透镜的屈光力与表面屈光力的关系可以看出，同一屈光力的透镜可以有无数种形式，只要前后表面屈光力相加为所需的屈光力即可。

以＋8.00Ｄ的透镜为例，可以采用表３-２的透镜形式。

表3-2 透镜形式
序号前表面屈光力后表面屈光力透镜屈光力透镜形式
1+4.00+4.00+8.00等双凸
2+6.00+2.00+8.00双凸
3+8.000.00+8.00平凸
4+10.00-2.00+8.00浅新月
5+14.00-6.00+8.00新月
6+16.00-8.00+8.00深新月

实际上，除了上述形式外，还可以有无数的形式。究竟用哪种形式能达到最佳的配镜效果，这涉及镜片设计的目的。镜片设计的目的是尽可能地减少或消除像差。绝大多数眼镜片都采用新月形的形式。

在镜片设计中基弧指某一范围的透镜，使用固定的表面弧度（面屈光力）。例如＋2.00～＋3.00D的透镜都使用－5.50D的基弧，代表这一范围的透镜，其后表面屈光力都为－5.50D。
表３-３为现代镜片的基弧。
透镜屈光力基　弧透镜屈光力基　弧
+1.00DS-6.50-1.00DS+6.50
+2.00DS-6.00-2.00DS+6.00
+3.00DS-5.50-3.00DS+5.50
+4.00DS-5.00-4.00DS+5.00
+5.00DS-4.50-5.00DS+4.50
+6.00DS-4.50-6.00DS+4.00
+7.00DS-4.50-7.00DS+3.50
+8.00DS-4.00-8.00DS+3.00

要了解透镜的设计，可以使用镜片测度表直接测量透镜的表面屈光力。

(二)厚透镜

１．薄透镜与厚透镜的区别　　当光线经过透镜发生折射时，光线先经过透镜的前表面，再经过透镜的前后表面之间的距离（即透镜的厚度），最后经过透镜的后表面。对于薄透镜而言，透镜的厚度被忽略，我们就可以认为光线经过透镜的前表面F１以后就到达了透镜的后表面Ｆ２。如果透镜的两个面都是有曲率的，当平行光线经过透镜的前表面时光线的聚散度发生了改变（F１），当光线经过透镜的后表面时光线的聚散度又发生了改变（F１＋F２），薄透镜的屈光力为F１＋F２。如一个薄透镜的前表面的屈光力为＋5.00D，后表面的屈光力为＋1.00D，当平行光线经过透镜的前表面时，光线的聚散度变为＋5.00D，因为是薄透镜，透镜的厚度可忽略不计，所以聚散度经过改变的光线直接到达了透镜的后表面，＋1.00D又将光线的聚散度发生了改变，将后表面的聚散度＋1.00D加上＋5.00D，则这个薄透镜的屈光力是＋6.00D。

对于薄透镜而言，透镜主点屈光力、前顶点屈光力和后顶点屈光力都是相等的，即Ｆ＝FVP＝BVP＝F１＋F２。

而对于厚透镜而言，光线经过透镜的前表面后又要经过透镜的前后表面之间的距离，才能到达透镜的后表面，而透镜前后表面之间的距离又改变了光线的聚散度，透镜的屈光力不再是透镜前后表面的屈光力的代数和，在透镜的前后表面之间又多了一个新的聚散度。这就使得透镜的后顶点屈光力不再等于F１＋F２。

例３-１９：处方为＋10.00DS，在制作这个透镜的时候将前表面做成＋13.00DS，后表面做成－3.00DS，中心厚度为８mm，材料的折射率为1.523。

如果将这块透镜认定为薄透镜，则薄透镜的后顶点屈光力为＋13.00＋(－3.00）＝＋10.00DS，但是实际测得这块透镜的后顶点屈光力为＋10.95DS，这样的误差很难被戴镜者接受，这样如果后顶点屈光力与主点屈光力的误差大于0.125D，戴镜者不能接受这个误差的透镜叫做厚透镜。用于眼镜的镜片一般都是薄透镜，所以为了使透镜制作好之后一定要保证：BVP－（F１＋F２）≤0.125。

在例３-１９中，如果要想达到＋10.00DS的效果，可以做以下的改动：

将前表面做成＋13.00DS，后表面做成－3.95DS，中心厚度为８mm，材料的折射率为1.523，这样经过测量，这块透镜的后顶点屈光力为＋10.00DS。

２．等效空气距离　　光线由一种介质进入到另外一种介质的时候聚散度可以被写为：

Ｆ＝Ｌ’－Ｌ　　　　　　　公式３-１８

例３-２０：如图３-３７所示，假设一个鱼缸的前后宽度为100cm，一个人站在鱼缸的前面观看鱼缸后壁上的一个点时，会发现这个点靠前了，请问这个点的像距鱼缸前表面的距离是多少？

解：已知Ｆ＝0.00Ｄ、
n＝1.33、
l＝－100cm＝－１m、
n’＝1.00
代入公式３-１９，

这个点的像距鱼缸的前表面７５cm
从例3-20中可以清楚看到，玻璃鱼缸的前表面没有曲率，即光线通过、离开鱼缸的过程中聚散度没有发生改变，所以Ｌ＝L’。鱼缸后壁的像的距离发生改变是因为两个介质不一样，光线在水中的传播速度慢于在空气中的传播速度，所以出现了距离减少的现象。减少后的厚度就是等效空气距离，这个结论可以写为：

等效空气距离＝t／n　　　　　公式３-２０

t
为实际厚度　　　　n　为介质的折射率

3．厚透镜　　对于厚透镜，当光线离开第一个表面，它会在透镜内穿过，因为透镜的折射率高于空气的折射率，所以光线的聚散度也发生了改变。

　　　　　L=n / l　　　　　　　公式３-２１

在这里不能只注意到距离的改变，不要注意到折射率的变化。

例３-２１：一个厚度为７mm的冕牌玻璃透镜的前表面的屈光力为＋12.00D，光线到达后表面的聚散度是多少？

当光线离开前表面后它的聚散度为：

F1=L1’-L1
将已知条件代入上式

＋12.00＝L１’－０

L１’＝12.00Ｄ

光线离开前表面的聚散度为＋12.00Ｄ。

这条光线的焦距为：

此时光线必须通过７mm才能到达后表面，这就出现了上面讲的等效空气距离的问题，新的焦距应该是l1’减去等效空气距离。

光线到达后表面的聚散度应该是0.0787的倒数。

　　　　L2=1/l2=1/0.0787=+12.71D

光线到达后表面的聚散度应该是＋12.71Ｄ。如果透镜的后表面是平面，光线离开后表面后，它的聚散度仍为＋12.71Ｄ，透镜的屈光力就不是简单的前后表面屈光力的代数和了。

如图３-３８所示，因为透镜厚度问题，当平行光线经过透镜的前后表面后，发生曲折并通过透镜的后表面，才能到达它的第二主焦点。从透镜后表面的顶点到透镜的第二个主焦点距离的倒数叫做透镜的后顶点屈光力FＶ’，后顶点屈光力在光学透镜的使用中十分重要。相反如果光线从透镜的后表面进入到透镜的前表面，在主轴上聚焦的点叫做第一主焦点，从透镜的前表面到透镜的第一主焦点距离的倒数叫做透镜的前顶点屈光力，透镜的放置方向及形式不同时，它的前顶点屈光力和后顶点屈光力可能是相同的，也可能是不同的。

透镜的前顶点屈光力和后顶点屈光力是可以利用从光线进入透镜的前表面到从透镜的后表面出去的过程中聚散度的变化计算的，也可以利用公式计算。

如果平行光线经过透镜折射，它的后顶点屈光力就等于离开透镜的光线的聚散度，在知道透镜的形式、厚度、透镜的折射率后就可以计算它的后顶点屈光力。

例３-２２：如图３-３９所示，已知一个透镜的前表面的屈光力为＋8.00Ｄ，后表面的屈光力为－2.00Ｄ，透镜的厚度为５mm，折射率为了1.523，求这个透镜的后顶点屈光力。

解：平行光线进入透镜的前表面时，聚散度为０，因为

　　　　　L１’＝F１＋L１

　　　　　L１＝０

所以　　　　L１’＝＋8.00＋０＝＋8.00Ｄ

这个透镜的后顶点屈光力并不是＋6.00Ｄ，而是＋6.22Ｄ。

例３-２３：求例３-２２的前顶点屈光力。如图３-４０。

解：假设平行光线由透镜的后表面进入透镜，则

　　　　　L1’=F1+L1
因为　　　　　L１＝０

所以　　　　　L１’＝－2.00＋０＝－2.00Ｄ

光线到达后表面的聚散度为

这个透镜的前顶点屈光力为＋6.01Ｄ。

从上面的内容中可以知道,厚透镜的等效空气距离与透镜系统公式中的d是等效的, 将两个同轴密贴的一个透镜系统公式中的d替换成厚透镜等效空气距离,可以得到厚透镜的公式如下：

例３-２４：透镜的前表面屈光力是＋25.00DS，后表面屈光力是－5.00DS，中心厚度为９mm，折射率为1.5，求透镜的每个基点的位置。

解：题中已知：F１＝＋25.00DS　F２＝－5.00DS　t＝９mm　　n＝1.5

(三）放大率

　当物位于球面透镜主光轴附近且物较小时，如果透镜极薄，则物经球面透镜成像情况可按一般几何光学原则求得：

物经透镜成像后，像与物的大小之比称为放大率（图３-４１）。放大率一般有横向线性放大率、轴向放大率和角放大率三种，轴向放大率和角放大率与眼镜关系较小，所以眼镜光学中所指的放大率均指横向线性放大率。

１．横向线性放大率　　就是像高比物高，横向放大率是随着物体位置而定的，某一个放大率只对应一个物体的位置。

２．轴向放大率　　只与共轭点的位置有关，轴向放大率等于横向放大率的平方，这说明对于一个有一定轴向长度的物体，在轴的方向上和垂直轴向上放大是不等的，会发生变形（当轴向放大率等于＋１或－１时例外）。

３．角放大率　　当物位于无穷远时，物像大小之比常以角放大率来表示。角放大率即像在出射光瞳中心的夹角和物在入射光瞳中心的夹角之比，即：

在以上的三种放大率的表示方法中，横向线性放大率最常用，角放大率也较多使用。

例３-２５：一个＋5.00Ｄ的薄凸透镜位于空气中，物位于透镜前100cm 处，求像的位置及放大率。

解：已知l＝－100cm　　f＝－20cm　　f’＝20cm　代入公式３-２７后，再分别代入公式３-２８，３-２９进行计算。

（２）Ｚ＝－100－（－20）＝－80cm
(－80)Ｚ’＝（－20）×20
Ｚ’＝５cm
（３）Ｖ＝－1／1＝－1Ｄ

　　　Ｕ’＝Ｖ＋Ｆ＝５－１＝４Ｄ　　　l’＝1／4＝25cm
所得结果相同，像位于透镜像侧距透镜25cm。

则横向线性放大率为：

所得结果相同，像大为物大的２５％，是缩小的倒像。

4．三种放大率之间的关系　　在理想的光学系统中，同一对共轭面上的三种放大率之间的关系为：
β＝α２　　面公式３-３７
γ＝１／α　
公式３-３８
根据上面的两条公式可以得到：
β×γ＝α 公式３-３９

（四）眼镜的放大率

当屈光不正的眼睛戴上合适度数的眼镜以后，远处的物体就会在视网膜上成清晰的像，患者的眼睛就能清楚地看见远方的物体。但是戴上眼镜后，眼底的像的大小就发生了一定的变化，所以感觉物体的大小就有所不同了，这就是眼镜的放大作用。戴上矫正眼镜和未矫正眼睛看远处同一物体时的像的大小之比，称为矫正眼镜的放大率。它与矫正眼镜的屈光力和透镜的形式有关。

１．眼镜的屈光力放大率　　戴上矫正眼镜以后，由于屈光力的不同而导致在视网膜上成像的放大或缩小称之为屈光力放大率，和矫正眼镜的性质、屈光力、镜眼距有关。

Ｆ：眼镜的屈光力　d：眼镜的后顶点到眼球第一结点之间的距离　

２．眼镜的形式放大率　　同一屈光力的镜片因为形式的不同放大率也不一样，前面所讲的屈光力，都是指镜片的主点屈光力，但是矫正眼镜用的都是后顶点屈光力。

Ｆ：镜片的主点屈光力　Ｆv：镜片的后顶点屈光力　t：镜片的中心厚度　n：镜片的折射率　Ｆa：镜片的前顶点屈光力　

从公式３-４１可以看出，眼镜的形式放大率只和镜片的中心厚度、折射率、镜片的前表面屈光力有关。这种放大倍率只与镜片的形式有关，和镜片的屈光力无关，所以称为形式放大率。

３．眼镜总的放大率　　是屈光力放大率和形式放大率的乘积。

因此，只要知道镜片的屈光力、镜眼距、前表面屈光力、中心厚度和折射率，就可以计算出这个矫正镜片总的放大率了。如果屈光参差的眼睛戴了框架眼镜后出现了视像大小不等现象，我们就可以利用公式３-４２，通过改变透镜的形式制作出等像眼镜，既能保证每一只眼睛获得矫正视力所需要的屈光力，又能使左右眼视像大小相等（或近似），解决了患者由于屈光参差带来的一些问题。

４．眼镜的相对放大率　　非正视眼戴上矫正眼镜后，远方物体在视网膜上成像的大小，和同一位置同一物体在标准正视模型眼眼底所成的像的大小之比，称为眼镜的相对放大率。

Ｆm：模型眼的屈光力　fm：模型眼的焦距　Ｆz：矫正眼镜和屈光不正眼同轴间距联合后的总屈光力，如果矫正眼镜的镜片屈光力为Ｆ，未矫正的屈光不正眼的总的屈光力为Ｆ０，镜眼距为d，则：

由于未矫正的屈光不正眼的总屈光力是未知的，所以眼镜的相对放大率的实用性没有眼镜放大率那么高。

（五）视场

眼镜片的视场（视野），按通俗的话来说就是通过镜片所能看到的空间范围，一般用角度来表示，也就是通过透镜能看到的最大角度范围。假设某人戴一副空镜架，其视场范围即为镜框的边缘与眼球旋转中心的夹角（如图３-42a）。但安装镜片后，经过透镜折射后的光锥就有变化，通过正镜片，光锥缩小（图３-４２c），通过负镜片，光锥扩大（图３-４２b）。

由图3-42a和3-42c，可知通过凸透镜看物体相对于空镜圈看物体的张角减小，而通过凹透镜看物体相对通过空镜圈看物体的张角增大。空镜圈与眼球旋转中心的夹角称作视觉视场，而透镜的有效直径与眼球旋转中心共轭点称为实际视场。视觉视场仅与镜框的大小和位置有关，而实际视场除与镜片的大小、位置有关外，还与镜片的屈光力有关。

如图３-４３所示，实际视场的计算法如下：

令：实际视场＝２φ　视觉视场＝２φ’　镜片半径＝y　　透镜至眼转动中心距离（Ｒ）＝s’　透镜至转动中心像的距离（R’）＝s
因为实际视场＝２φ

因Ｓ＝入射光束的聚散度，根据聚散度公式：Ｓ＝Ｓ’－Ｆ

从公式３-４７可以看出，实际视场是与镜片直径的大小和镜片的屈光度数有直接的关系。

例３-２６：一个圆形镜圈的直径为45mm ,装配上一个＋5.00DS的镜片，镜片距离眼球旋转中心的距离为25mm，求实际视场和视觉视场是多少？

例３-２７：如果将＋5.00DS透镜换成－5.00DS的透镜，其他已知条件不变，求视觉视场和实际视场。

从例３-２６、３-２７中可以看到，＋5.00DS凸透镜令配戴者损失了7.53°的视场，而－5.00DS凹透镜令配戴者增加了6.74°的视场。

绝大多数镜圈并不是圆形的，这对于我们计算视场来说就增加了一点麻烦，如果遇到不是圆形的镜圈和不是球面透镜的镜片的时候，就要分别量出镜圈的每一个方向上距离光心的距离，再计算出与这个方向对应的屈光力，分别代入公式３-４７，就可以计算出戴镜者的实际视场了。

对于近视患者在配戴眼镜的时候增加了视场，这无疑是个好事情，但是对于远视眼患者，配戴眼镜的时候缩小了视场，这就使患者戴了眼镜后感觉不是很方便，我们可以采用减小镜眼距的方法或改变镜片设计的方法来增加视场。

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责任编辑：peijingshi

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